Lösung von Aufgabe 6

1. Bewegungsgleichungen:
   • Allgemeine Matrixform
     • 
   • Nach Aufgabe 1 sind die Matrizen
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   • mit den angegebenen Werten also
     • 
2. Eigenfrequenzen und -schwingungen:
   • charakteristische Gleichung
     • 
   • mit den Abkürzungen
     • ω₀² = 10³ 1/s², η = ω/ω₀
   • wird dies
     • 
   • Entwickeln nach der letzten Zeile liefert
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   • mit den Lösungen
     • 
   • Eigenfrequenzen sind also
     • 
   • Gleichungssystem für 1. Eigenschwingung (η² = 1/6)
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   • Ich wähle ₁ = 1 (in der Hoffnung, dass das funktioniert). Dann ergibt sich folgendes Gleichungssystem für ₂ und ₃
     • 
   • Lösungen sind
     • 
   • Insgesamt ist der 1. Eigenvektor
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   • analog erhält man für die 2. und 3. Eigenschwingung
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   • Veranschaulichung
     
   • Bemerkungen
     • Knoten bei x₂ bei 2. Ordnung. Die Wahl x₂ = 1 hätte hier nicht geklappt.
     • Zahl der Knoten steigt mit jeder Ordnung (bei steigenden Eigenfrequenzen) um 1. Dies gilt allgemein.
3. Bewegung bei gegebenen Anfangsbedingungen:
   • Anfangsbedingungen
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   • Die Modalmatrix lautet
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   • Damit ist
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   • Die Inverse der Modalmatrix erhält man dann als
     • 
   • Anfangsbedingung in Hauptkoordinaten daher
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   • Lösung in Hauptkoordinaten
     • 
   • Mit y₀ = 0 erhält man die Amplituden
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   • Für die Phasenverschiebung erhält man ±π/2, je nach Vorzeichen von _0,i
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   • Gesamtlösung daher
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   • Graphisch:
     
   • Lösung in Originalkoordinaten
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   • Graphisch: