Lösung von Aufgabe 7

1. Eigenfrequenzen und -schwingungen:
   • Bewegungsgleichung des Gesamtsystems
     • 
   • mit
     • 
   • Charakteristische Gleichung für η = ω s
     • 
   • Entwickeln nach der letzten Zeile liefert das Polynom
     • 
   • Nullstellen ergeben
     • 
   • Eigenschwingungen als Lösungen der homogenen Gleichung
     • 
   • ergibt
     • 
   • Interpretation
     • 1. Eigenschwingung: alle Scheiben drehen sich gleichartig, entspricht einer Rotation der ganzen Welle
     • 2. Eigenschwingung: Scheiben 1 und 2 bewegen sich zusammen gegen Scheibe 3
     • 3. Eigenschwingung: Scheiben 1 und 2 schwingen schnell gegeneinander, Scheibe 3 ist nahezu unbeteiligt
2. Bewegung der 1. Scheibe:
   • Angangsbedingungen
     • 
   • Modalmatrix ist
     • 
   • Daraus erhält man die Massenelemente
     • 
   • und die inverse Modalmatrix
     • 
   • Anfangsbedingungen in Hauptkoordinaten
     • 
   • Amplituden _i der i-ten Eigenschwingung
     • 
   • Die Phase beträgt immer ±π/2, je nach Vorzeichen von _i(0), d.h. es sind reine Sinusschwingungen. In Hauptkoordinaten somit
     • 
   • Interpretation:
     • Sehr niedrige Grundschwingung ω₁ entspricht der sehr weichen Welle c₁: Die ganze Welle außer dem 1. Abschnitt dreht sich gleichförmig langsam hinundher.
     • Sehr steife Welle c₃ → 3. Eigenschwingung mit großem ω₃ wird kaum angeregt.
   • Rücktransformation
     • 
   • speziell für θ₁ erhält man
     • 
   • graphisch für alle drei Scheiben
     
3. Kupplungsmoment:
   • M_k ist gegeben durch
     • 
   • graphisch
     
   • M_k schwingt nahezu harmonisch gemäß der 2. Eigenschwingung