Ausgleichsrechnung
- Spezifische Wärmekapazität cp von Wasser:
- Werte wie vorher
- Idee:
- Messwerte haben Fehler
- Daten sollten durch Polynom 4. Ordnung gut
beschrieben werden
- gesucht: "bestes" Polynom zu den gegebenen
Messwerten
- Problem der Approximation:
- gegeben N Punkte (xi, yi), i = 1, .. N, mit xi ≠
xj für i ≠ j
- gesucht Funktion f aus einer vorgegebenen Klasse (z.
B. Polynom fester Ordnung), die "möglichst genau" durch die Punkte
geht
- Fehler von f bei Messung i
- Gesamtfehler ("Methode der kleinsten Quadrate",
"least square fit")
- auch andere Gesamtfehler werden verwendet
- Vorteil von r2
- führt auf numerisch gut zu lösende
Gleichungen
- liefert für normalverteilte Messwerte den
"wahrscheinlichsten" Fit ("maximum likelihood")
- Lineare Ausgleichsrechnung:
- lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen für n
Unbekannte (m > n)
- A x = b
- A mxn-Matrix, x n-Vektor, b m-Vektor
- hat in der Regel keine Lösung
- Beispiel
- gesucht ist x mit minimalem quadratischen
Fehler
- kann berechnet werden als Lösung der
Normalengleichung
- (AT A) x = AT b
- Beweis im Anhang
- Lösung des nxn-Systems mit Gauß-Verfahren ist
numerisch problematisch (schlecht konditioniert)
- besser über QR-Zerlegung
- Matrix A wird zerlegt in
- A = Q R
- mit
- R = obere Dreiecksmatrix (unter der Diagonalen
nur 0)
- Q orthogonal (also QT Q = 1)
- QR-Zerlegung am Beispiel:
- Prinzip
- Durch Spiegelung an einer geeigneten Ebene
(gegeben durch ihren Normalenvektor v) wird ein Spaltenvektor von
A in Richtung eines Koordinatenvektors ei
gebracht
- Basisvektoren: e1, e2,
e3
- Spaltenvektoren der (transformierten) Systemmatrix:
s1, s2, s3,
- 1. Schritt
- berechne Hilfsvektor
konkret
- berechne Householdermatrix
konkret
- transformiere A
- 2. Schritt:
- berechne Hilfsvektor, ersetze dafür 1. Wert
von s2 durch Nullen →
- berechne Householdermatrix
- transformiere A
- 3. Schritt:
- berechne Hilfsvektor, ersetze dafür 1. und 2.
Wert von s3 durch Nullen →
- berechne Householdermatrix
- transformiere A
- damit ist eine obere Dreiecksmatrix erreicht, also
- Da Q1, Q2 und Q3
orthogonal sind (nachrechnen!), ist es auch
- und es gilt
- Lösung der Normalengleichung:
- Mit der QR-Zerlegung von A kann man schreiben
- Da nur die oberen n Zeilen von R von 0 verschieden
sind, teilt man das System in die oberen n und die unteren m-n
Gleichungen
- Die unteren Gleichungen kann man nicht lösen, sie
liefern die Fehlerterme.
- Die oberen Gleichungen liefern durch
Rückwärtssubstitution die Lösung für x
- Dieses x löst auch die Normalengleichung (Beweis im
Anhang)
- im Beispiel
- Berechnung der rechten Seite
- Lösen des Dreiecks-Systems
- Anwendung Polynomfit:
- gegeben m Punkte (xi, yi), i = 1, .. m, mit xi ≠
xj für i ≠ j
- gesucht: Polynom vom Grad n < m-1
- mit
- Einsetzen der Punkte in die Polynomdefinition
liefert m Gleichungen für die n+1 unbekannten Koeffizienten
ai
- überbestimmtes lineares Gleichungssystem mit
Vandermonde-Matrix
- Was kann schief gehen:
- A hat nicht Rang n
- zu wenig Daten
- Daten sind nicht unabhängig (schlechtes
Experiment!)
- Modell passt nicht
- Modell macht keinen Sinn
- z.B. kein Polynom, sondern ganz anderer
Zusammenhang
- Ausgleichsrechnung liefert gut aussehende
Kurve
- Extrapolation oder Interpolation ergibt trotzdem
unsinnige Werte
- Modell kommt aus der Theorie oder Erfahrung,
Mathematik kann da nicht helfen!
- Matlabfunktionen
- QR-Zerlegung der Matrix A
- Lösung des linearen Ausgleichsproblems A x ≈ b
- Ausgleichspolynom n-ter Ordnung zu Datenpunkten xi,
yi
- poly = polyfit(xi, yi,
n)
- Anwenden des Polynoms auf Werte x
- Messwerte mit verschiedener Genauigkeit:
- gegeben seinen m Messwerte
- (xi, yi), i = 1, .. m, mit xi ≠ xj für i ≠
j
- jeder mit einer Genauigkeit σi
für yi
- Die Koeffizienten ai des Fit-Polynoms
n-ten Grades erhält man durch Lösung des Ausgleichsproblems
- mit
- Beweis: [6]
- Statt Polynomen kann man auch beliebige andere
Grundfunktionen verwenden:
- Polynom wäre dann der Spezialfall
- Xi(x) = xi-1
- Aufgaben: