Interpolation
- Spezifische Wärmekapazität cp von Wasser:
- einige Messwerte wurden
bestimmt
- daraus soll Wert für t1 = 15 °C ermittelt
werden
- am einfachsten: lineare Interpolation
- Ergebnis: cp(t1) = 4.1795
kJ/(kg K)
- kann man einen "besseren" Wert bekommen?
- Problem der Interpolation:
- gegeben N Punkte
- (xi, yi), i = 1, .. N,
mit xi ≠ xj für i ≠ j
- gesucht Funktion f einer vorgegebenen Klasse (z. B.
Polynom) mit
- Polynom-Interpolation:
- Es gibt genau ein Interpolationspolynom P vom Grad
N-1
- Einsetzen der Punkte liefert N Gleichungen für die N
Koeffizienten ak
- in Matrixform
- Systemmatrix
- Vandermonde-Matrix
- nicht singulär (bei xi ≠
xj für i ≠ j)
- schlechte Kondition bei kleinen Abständen
zwischen den xi
- Lagrangeform der Lösung:
- Lösung direkt hinschreibbar, etwa quadratisches
Polynom für N = 3
- Überprüfen durch Einsetzen von x1,
x2, x3
- allgemein
- Beispiele:
- "sinnvoll" nur bei kleinem N
- starke Überschwinger bei großem N
- bei bekannter Funktion f optimierbar durch geschickte
Wahl der Stützstellen xi (Tschebycheff-Knoten)
- Kubische Splines:
- Alternative: stückweise Polynome Pk(x)
niedriger Ordnung
- kubische Splines definiert durch
- Polynom 3. Ordnung zwischen je zwei
aufeinanderfolgenden Punkten
- 1. und 2. Ableitungen sind stetig
- Beispiel
- Splines gegeben durch je 4 Koeffizienten
ak, bk, ck, dk
- Bedingungen
- Anzahl der Koeffizienten: 4N - 4
- Anzahl der Bedingungen: (N-1) + (N-1) + (N-2) +
(N-2) = 4N-6
- bleibt je eine zusätzliche Bedingung an den
Endpunkten x1, xN
- Wahl der Randbedingungen:
-
natürliche Splines
- Extrapolationen (Kurven außerhalb [x1
xN]) verlaufen linear
-
"not-a-knot"-Splines
- bei x2 und xN-1 dreimal stetig
differenzierbar
- ein einziges kubisches Polynom durch
(x1, x2, x3) bzw.
(xN-2, xN-1, xN)
-
periodische Splines
- wichtig bei geschlossenen Kurven
- Ableitungen M1, MN an den
Endpunkten bekannt
- Bestimmung der Koeffizienten:
- die (noch unbekannten!) Steigungen an den Punkten
seien Mk, also
- mit den Abkürzungen
- hat das Polynom
- die Eigenschaften
- aus der Stetigkeit der 2. Ableitung (4) erhält man
N-2 lineare Gleichungen für die Mk
- 2 ergänzende Gleichungen für natürliche Splines
- 2 ergänzende Gleichungen für "not-a-knot"-Splines
- Details der Rechnung im Anhang
- Matlab-Funktionen:
- Interpolation bei Punkten x, y, an den Stellen xi
- yi = interp1(x, y, xi,
Methode)
- Methoden (u.a.) "linear", "spline"
- "spline" verwendet
not-a-knot-Randbedingungen
- Interpolationspolynom bestimmen
- poly = polyfit(x, y,
length(x)-1);
- Zwischenwerte des Polynoms berechnen
- B-Splines:
- interpolieren beliebige Raumkurve
- zusätzliche Kontrollpunkte legen Tangentenrichtungen
fest
- Basis von Freiformkurven in 2D-CAD
- Verallgemeinerung auf Flächen
- NURBS (Non Uniform Rational B-Splines)
- Basis von Freiformflächen in 3D-CAD
- Aufgaben: