Lösung von Aufgabe 8
- Kräftebilanz:
- An der Position (x, y) beträgt die Auslenkung der 1.
Feder
- die Rückstellkraft ist also in horizontaler Richtung
- in vertikaler Richtung
- Berücksichtigt man analoge Beziehungen für die 2.
Feder sowie die Gewichtskraft der Masse, erhält man sofort das
angegebene System für die Kräftebilanz in horizontaler und vertikaler
Richtung.
- Bestimmen der Lösung mit dem Newton-Verfahren:
- Zunächst muss die Jacobi-Matrix berechnet werden.
Nach sorgfältiger Rechnung (und leichten Zusammenfassungen) erhält
man
- Mit plotZeros
verschafft man sich zunächst einen Überblick
- und liest als Startwert ab:
- Mit Hilfe der
Funktion solveNewton aus der
Vorlesung erhält man sofort die Lösung
- Alle Berechnungen können mit dem Matlab-Skript
ex08b.m ausgeführt werden.
- Lösungen bei hoher Vorspannung:
- Mit den neuen Werten erhält man als Plot
- Man erkennt 3 Schnittpunkte auf der Symmetrieachse
und je zwei Punkte auf der linken und rechten Seite, aufgrund der
Symmetrie (L1 = L2) spiegelbildlich
angeordnet.
- Ablesen der Startwerte (unter Zuhilfenahme der Lupe
des Matlab-Plots) liefert auf der y-Achse die Ergebnisse
- y1 = -0.4985, y2 = 0.1346, y3
= 0.2501
- Mit dem Startwert
- bekommt man auch den oberen der seitlichen Punkte
bei
- Der untere Punkt (etwa bei [0.3;
0.02]) wiedersetzt sich hartnäckig: Das Newton-Verfahren
konvergiert regelmäßig gegen einen der anderen Werte, wie dicht man
auch versucht, an den Wert zu kommen (etwa durch höher aufgelöste
Plots). Geht man zurück in die Formel für die Kräfte, wird die
Ursache klar: Die Position liegt genau auf dem Fußpunkt der 2. Feder,
sie hat dann die Länge 0. Dadurch wird der Richtungsvektor
undefiniert, die Funktion liefert in Matlab den Wert NaN.
- Um zu verstehen, wieso im Plot falsche Nullstellen
auftreten, untersuchen wir die kritische Stelle (0.3, 0.0) genauer und
plotten drei Kurven für Fx und Fy, jeweils für x
= 0.29, 0.30 und 0.31, und variables y:
Die y-Komponente der Kraft ist hier unstetig!
- Physikalisch ist klar, dass hier keine
Gleichgewichtsposition zu finden ist: Die Federn liegen horizontal,
sie können die vertikale Gewichtskraft nicht ausgleichen. Abgesehen
davon: Mit der Länge 0 hat man sicher den Linearitätsbereich jeder
realen Feder verlassen!
- Alle Rechnungen können
mit ex08c.m nachvollzogen werden.