Konfidenzintervalle

• Wie gut ist ein Schätzwert?
  • Anhaltspunkt: Varianz des Schätzers
  • anderer Ansatz: Intervall, in dem der wahre Wert θ mit hoher Wahrscheinlichkeit liegt
  • genauer
    • gib Irrtums-Wahrscheinlichkeit α vor (oft 5%)
    • suche Intervall [g_u, g_o], in dem θ mit Wahrscheinlichkeit (1-α) liegt ((1-α)-Konfidenzintervall)
  • gesucht sind Schätzer G_u, G_o für die Intervallgrenzen
  • meistens wird Intervall symmetrisch um den Schätzwert von θ konstruiert
    •  manchmal stattdessen einseitiges Intervall, etwa (0, g_o) für Toleranz
  • in der Regel zusätzliche Annahmen über Verteilung der X_i nötig
• Konfidenzintervall für μ einer Normalverteilung bei bekannter Varianz:
  • Annahme: X_i ~ N(μ, σ²), σ bekannt, μ gesucht
  • verwende Schätzer für μ, suche z mit
    • 
  • Verteilung von bekannt
    • 
  • einfache Umformung liefert Bedingung für Standard-Normalverteilung
    • 
    • im Bild
    • 
  • gesucht sind also Werte x_α/2, x_1-α/2 mit
    • 
    •  d.h., die α/2- und 1-α/2-Quantile der Standard-Normalverteilung
  • p-Quantil der Standard-Normalverteilung häufig mit z_p bezeichnet
    • Antisymmetrie von Φ → z_α/2 = -z_1-α/2
    • Werte tabelliert bzw. mit norminv(1-alpha/2) in Matlab

    • α [%]	10	5	2	1	0.5	0.1
      z1-α/2	1.6449	1.9600	2.3263	2.5758	2.8070	3.2905

  • damit Schätzer für die Grenzen des Konfidenzintervalls aus
    • 
• Beispiel Füllmengen:
  • in einer Abfüllanlage wurden folgende Füllmengen gemessen
    • 0.7361 0.7750 0.6522 0.7459 0.7296 0.6808 0.7070 0.7303 0.8274 0.8031
      0.6795 0.8110 0.7418 0.7181 0.7414 0.7139 0.7163 0.7647 0.7623 0.7625
  • Standardabweichung sei aufgrund langjähriger Erfahrung bekannt: σ = 0.03
  • als Mittelwert erhält man
    • = 0.7399
  • für α = 5% ist z_0.975 = 1.9600, also erhält man als Konfidenzintervall
    • [0.7268, 0.7531]
  • graphisch
    • 
• Bedeutung des Konfidenzintervalls:
  • gegeben sei X ~ N(0.75, 0.03²)
  • man nehme 50 Stichproben mit jeweils 40 Werten und berechne dazu die Konfidenzintervalle zu 1-α = 95%
  • man erwartet durchschnittlich "2.5" Intervalle, die den wahren Mittelwert μ = 0.75 nicht enthalten
  • mit Matlab simuliert
    • 
  • hier drei nicht passende Konfidenzintervalle
• Konfidenzintervall für μ einer Normalverteilung bei unbekannter Varianz:
  • Idee: benutze S² als Schätzer für σ²
    • 
  • Vermutung: Intervall muss breiter werden, da weniger bekannt ist
  • T ist nicht normalverteilt, sondern hat eine t_n-1-Verteilung
  • Quantile t_n,p tabelliert bzw. mit tinv(p,n)
    • sind antisymmetrisch  t_n-1,α/2 = -t_n-1,1-α/2
  • damit Schätzer für die Grenzen des Konfidenzintervalls
    • 
• Eigenschaften der t-Verteilung mit n Freiheitsgraden t_n:
  • von William Gosset eingeführt in Veröffentlichungen als "Student"
    • heißt daher auch Student- oder Student-t-Verteilung
  • Dichtefunktion
    • 
    • graphisch
    • 
  • Eigenschaften
    • 
  • Satz
    • Seien X, Y unabhängige Zufallsgrößen mit
    • X ~ N(0,1)
    • Y ~ χ_n²
    • dann gilt
    • 
  • erklärt Verteilung von T
  • t_n geht mit steigendem n gegen N(0,1)
    • Näherung wird oft ab n = 30 verwendet
• Beispiel Füllmengen mit geschätzter Varianz:
  • Als Schätzwert für die Standardabweichung erhält man s = 0.0444
  • Für α = 5% und n = 20 ist t_19,0.975 = 2.0930, also erhält man als Konfidenzintervall
    • [0.7192, 0.7607]
    • etwas größer als bei bekanntem σ
• Konfidenzintervall für σ einer Normalverteilung:
  • Schätzwert selbst natürlich mit S²
  • es war ja
    • 
    • mit den Quantilen χ²_n,p erhält man daher für den symmetrischen Fall
    • 
    • man braucht zwei Quantile, da χ²-Verteilung unsymmetrisch
  • daraus
    • 
  • damit Schätzer für die Grenzen des Konfidenzintervalls von σ²
    • 
  • Schätzer für die Grenzen des Konfidenzintervalls von σ natürlich die Quadratwurzeln
• Beispiel Füllmengen, Konfidenzintervall für Standardabweichung:
  • Schätzwert für die Standardabweichung war s = 0.0444
  • Quantile aus Tabellen oder mit chi2inv(p, n)
    • 
  • damit Konfidenzintervall für σ²
    • [0.001140, 0.004204]
    • und für σ
    • [0.0338, 0.0648]
  • nur nebenbei
    • Werte wurden erzeugt mit normrnd(0.72, 0.03) und rng('default')
    • Intervalle passen nicht - Pech gehabt!
    • mehrere Wiederholungen mit neuen Zufallszahlen klappen (5% Fehlerquote!)
• Konfidenzintervall für den Mittelwert bei beliebiger Verteilung:
  • zentraler Grenzwertsatz → nähert sich einer Normalverteilung an
  • für n ≥ 30 wählt man daher das Konfidenzintervall wie oben beschrieben
  • Varianz unbekannt → t-Verteilung nehmen
    • aber bei n ≥ 30: t_n ≈ N(0,1)
• Konfidenzintervall für eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p:
  • X_i Bernoulli-Experiment mit gesuchter Wahrscheinlichkeit p
  • Y sei Zahl der Treffer, dann Y ~ B(n,p)
  • Schätzer für p natürlich = Y/n
  • Konfidenzintervall durch Standardisierung und Grenzwertsatz
    • berechne standardisierte Verteilung
    • 
    • und gehe von Normalverteilung aus
    • 
    • mit
    • 
  • löse wie üblich nach dem gesuchten Parameter (hier p) auf
    • dazu zunächst Varianz-Term als bekannt annehmen →
    • 
• Varianz-Term los werden:
  • brutal: p durch Y/n abschätzen (ok im Grenzwert n → ∞)
    • wird häufig als Standardmethode vorgeschlagen
    • liefert oft viel zu kleine Intervalle, auch noch für n > 1000
    • genaue Analyse in [3] → nicht verwenden!
  • besser: in quadratische Gleichung umformen →
    • 
  • Auflösen der quadratischen Gleichung liefert Schätzer für die Grenzen des Konfidenzintervalls (Wilson-Intervall)
    
    • 
    • liegt nicht symmetrisch um den Schätzwert!
• Beispiel Würfel:
  • 30-maliges Würfeln ergab im Experiment
    
    • 6 4 6 5 5 2 6 1 2 3 5 2 6 6 1 4 1 3 1 6 3 6 5 6 2 1 4 2 5 3
  • das sind 8 Sechsen, also Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit einer Sechs
    • = y/n = 0.2667
  • Quantil bei α = 5 %
    • z = 1.9600
  • mit der Wilson-Methode lautet das Konfidenzintervall
    • [0.1418, 0.4445]
    • der tatsächliche Wert p = 0.1667 liegt also im Intervall
• Aufgaben:
  • Aufgabe 31
  • Aufgabe 32
  • Aufgabe 33