Ergänzende Analysen bei linearer Regression
- Bestimmtheitsmaß:
- besteht überhaupt ein linearer Zusammenhang
zwischen x- und y-Werten?
- bei Messwerten existiert häufig ein direkter
Zusammenhang, aber nicht unbedingt linear
- bei allgemeinen statistischen Daten ist x oft nur
ein Einflussfaktor
- Idee: zerlege Streuung der yi-Werte um
ihren Mittelwert in die durch Geradengleichung und die durch
Fehlerterm
- man definiert die "exakten" Modellwerte
- und damit
- Bedeutung
- SQT = Summe der Quadrate Total = gesamte Streuung
der yi
- SQE = Summe der Quadrate Erklärt = Streuung
wegen Geradengleichung
- SQR = Summe der Quadrate Rest = Streuung wegen
Fehler εi
- damit gilt (nachrechnen!)
- Definition des Bestimmtheitsmaßes R2
- Eigenschaften von R2
- 0 ≤ R2 ≤ 1
- R2 = 1 → SQR = 0 → yi liegen
genau auf einer Geraden
- R2 = 0 → SQE = 0 → alle i = → Gerade ist horizontal
→ Streuung beruht komplett auf Fehlerterm
- Interpretation
- R2 nahe 1 ⇔ Modell passt gut zu
den Daten
- im Beispiel
- SQT = 7.4157e+03
- SQE = 7.3636e+03
- SQR = 52.1764
- R2 = 0.9930
- Residualanalyse:
- wie gut ist das Fehlermodell?
- berechne standardisierte Residuen
- plotte Streudiagramm von δi
über xi
- im Beispiel alles ok
- typische Probleme
- Punkte folgen grob einer Kurve → y
hängt nichtlinear von x ab
- Abstand der Punkte von der x-Achse wächst
mit x → εi haben mit x wachsendes
σ
- εi-Modell ok → δi
~ N(0,1)
- überprüfen mit Q-Q-Plot
- im Beispiel
- Gewichtete Regression:
- Erweiterung auf Fehlerterme εi ~
N(0, σi2)
- Annahme: σi sind
(näherungsweise) bekannt
- z. B. Messreihen mit mehreren Messungen pro xi
- → yi wird als Mittelwert bestimmt
- → σi wird aus Messreihe zu
xi abgeschätzt
- oder man kennt die Genauigkeit des
Messgeräts als Funktion von x
- Dichtefunktion der Yi einfache
Erweiterung von oben
- Maximum-Likelihood-Verfahren liefert lineares
Gleichungssystem
- Lösung ergibt Schätzer
- Ergebnis
- Messwerte mit niedriger Genauigkeit werden
schwächer berücksichtigt
- weitere Anwendung
- σi manuell als Gewichte
einführen, um bestimmte x-Bereiche zu unterdrücken
oder hervorzuheben
- Aufgaben: